Sayılar (Temel Kavramlar)

SAYILAR-TEMEL KAVRAMLAR

Sayı Kümeleri

Rakam: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Doğal Sayılar(N): (0,1,2,3,4,….) sonsuza kadar gider.

Ø  Doğal sayı sorularında “0”ın da bir doğal sayı olduğunu unutmayın!

Sayma Sayıları(S): (1,2,3,4,….) doğal sayılardan tek farkı, “0” olmamasıdır.

Tam Sayılar(Z): (…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,….)

Pozitif Tam Sayılar(Z⁺): (1,2,3,4,…..)

Negatif Tam Sayılar(Z^-): (…,-4,-3,-2,-1)

Ø  “0”, pozitif veya negatif değildir.

KONUYLA İLGİLİ SORU TİPLERİ, İPUÇLARI VE ÖRNEKLER:

v  Toplamı belli olan iki sayıdan birinin en büyük olması için diğerinin en küçük olması gerekir. Tam tersi de geçerlidir.

Örnek: a ve b pozitif sayıları için

 a+2b=10 eşitliğinde a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm: b’ye verebileceğimiz en küçük değeri bulalım. Burada önemli olan a ve b’nin pozitif tam sayı olduğunu unutmamaktır, yani b’ye verdiğimiz değer sonucunda bulduğumuz a değeri pozitif tam sayı çıkmalıdır. En küçük pozitif tam sayı ile başlayalım;

b=1 için a=8 alabileceği en büyük değerdir.

v  Bir ifadenin toplamının en büyük değerini bulmak için, katsayısı büyük olan bilinmeyene büyük değer verilir. En küçük değerini bulmak için ise katsayısı büyük olan bilinmeyene küçük değer verilir.

Örnek: a ve b pozitif tam sayı ve

a+b=5 ise 2a+4b toplamının en büyük değeri kaçtır?

Çözüm: en büyük değeri istenen toplamda katsayısı büyük olan bilinmeyen “b”dir.

a+b=5 denkleminde b’ye en çok 4 diyebiliriz, çünkü a ve b pozitif tam sayılardı. O halde a da 1 olur. Yerlerine yazarsak;

2.1+4.4=19 en büyük değerdir.

v  Bir ifadenin farkının en büyük değerini bulmak için, çıkarılan sayı (sağdaki) mümkün olduğunca küçük seçilmelidir. En küçük değeri için ise çıkarılan sayı büyük seçilmelidir.

Örnek: a ve b pozitif tam sayılar.

a+b=10 ise a-b farkının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm: b’ye verebileceğimiz en küçük değer 1’dir.

O halde a=9 olur. a-b= 9-1=8 ‘dir.

v  Toplam biçimindeki bir eşitlikte a kaç farklı değer alabilir ya da a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır gibi sorularda ilk önce katsayısı büyük olan bilinmeyene değer verirseniz soruyu daha hızlı çözersiniz.

İki ifadenin toplamı biçimindeki bir eşitlikte bilinmeyenlere değer verirken, verebileceğiniz ilk değerleri bulduktan sonra değerler, diğer bilinmeyenin katsayısı kadar arttırarak ya da azaltılarak bulunabilir. İfade toplam biçimindeyse değerlerden biri artarken diğeri azalır. Bu size sorularda hız kazandıracaktır.

Örnek:a ve b pozitif tam sayılar, a+2b=16 eşitliğinde,

1) a kaç farklı değer alır?

2) a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:b=1 için a=14

            b=2 için a=12

            b=3 için a=10

            b=4 için a=8

            b=5 için a=6

            b=6 için a=4

            b=7 için a=2

            b=8 için a=0 buradan sonra a pozitif tam sayı çıkmadığı için b’yi 8 ve yukarısı olarak alamayız.

Dikkat ettiyseniz ilk değerler 1 ve 14 bulunduktan sonra, b değerleri a’nın katsayısı olan 1 kadar artarak devam etmiş. a değerleri de b’nin katsayısı olan 2 kadar azalarak devam etmiş. Bu kuralı farklı sayılarla deneyerek daha iyi kavrayabilirsiniz.

1) a, 7 farklı değer alır

2) toplamları, 14+12+10+8+6+4+2=56’dır.

v  Bu sorulara ek olarak a ve b için birbirinden farklı, doğal sayı, pozitif tam sayı vs gibi şartlar eklenebilir. Bu durumda değer verirken bu şartlara uygunluğu göz önünde bulundurmaya dikkat etmeliyiz.

v  Bilinmeyenler artarsa işler biraz değişiyor. a+b+c ifadesinin en büyük değerini bulmak için verilen eşitlikte katsayısı en büyük olan bilinmeyene en küçük değer verilir. a+b+c ifadesinin en küçük değerini bulmak için ise katsayısı en küçük olan bilinmeyene en küçük değer verilir.

Örnek: a,b,c pozitif tam sayı, a+2b+3c=20 eşitiliğinde a+b+c toplamı

1)en fazla kaçtır?

2)en az kaçtır?

Çözüm:

1) katsayısı büyük olanlara sırasıyla küçük değerler veriyoruz.

a+2b+3c=20  c=1 ve b=2 için a=13

buradan a+b+c=16 olur.

2)katsayısı küçük olanlara sırasıyla küçük değerler veriyoruz.

a+2b+3c=20  a=1 ve b= 2 için c=5

buradan a+b+c=8 olur.

v  Toplamları verilen iki doğal sayının çarpımlarının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine yakın seçilmelidir, hatta soruda sayılar için birbirinden farklı denilmiyorsa sayılar birbirine eşit seçilmelidir.

Çarpımlarının en küçük değerini bulmak için ise sayılar birbirine uzak yani farkları en çok olacak şekilde seçilmelidir.

Örnek: a ve b pozitif tam sayı, a+b=10 ise a.b ifadesinin alabileceği

1)en büyük değer kaçtır?

2)en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

1)sayıları birbirine en yakın mümkünse eşit seçiyoruz.

a=5, b=5 için a.b=25 olur.

2) sayıları birbirine uzak seçiyoruz.

a=1, b=9 için a.b=9 olur. Burada a ve b pozitif tam sayı değil de doğal sayılardır denseydi sayılardan birini “0” seçebilirdik, bu durumda çarpım sonucu en küçük “0” olurdu.

v  Çarpımları verilen pozitif iki tam sayının toplamlarının alabileceği en büyük değeri bulmak için, sayılar birbirine uzak seçilir. Yani sayılardan birini “1” seçebilirsiniz.

Toplamlarının en küçük değerini bulmak için ise, sayılar birbirine yakın ve mümkünse eşit seçilmelidir.

Örnek:a ve b pozitif tam sayı, a.b=10 ise a+b ifadesinin alabileceği

1)en büyük değer kaçtır?

2)en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

1) sayılardan birini 1 seçiyoruz, a=1 b=10 a+b=11 olur.

2)sayıları birbirine en yakın mümkünse eşit seçiyoruz.

a=2, b=5 için a+b=7 olur.

Eğer soruda bilinmeyenler için negatif tam sayıdır denilseydi tam tersi yapılarak, en küçük değer için uzak değerler (a=-1, b=-10 için a+b=-11), en büyük değer için yakın değerler (a=-2, b=-5 için a+b= -7) seçilirdi. Peki, tam sayılardır deseydi nasıl seçmek gerekirdi? Onu da siz bulun bakalım J

v  Soruda üç sayının ikili ikili çarpımları verilmişse, önce iki çarpımda ortak olan bilinmeyene, iki çarpım sonucunu da bölen en büyük değer verilir. Verilebilecek diğer değerler de bu değerin tam bölenleri olacaktır. Sonra verilen değerden diğer bilinmeyenler bulunur ve istenen çözüme gidilir.

Örnek: a,b,c pozitif tam sayılar ve

a.b=12

b.c=16

1)b kaç farklı değer alabilir?

2)a+b+c toplamı en fazla kaçtır?

3)a+b+c toplamı en az kaçtır?

Çözüm:

1) 12 ve 16’yı ortak bölen en büyük sayı 4’tür. 4’ün tam bölenleri ise 4,2 ve 1’dir.O halde b 3 farklı değer alabilir.

2) toplamın fazla olması için sayıları birbirine uzak seçiyoruz, bunun için b’nin en küçük değerini seçmeliyiz.

b=1 için a=12, c=16 olur. a+b+c= 29.

3) toplamın az olması için sayıları yakın seçiyoruz. Yani b’nin en büyük değerini seçmeliyiz.

b=4 için a=3, c=4 olur. a+b+c=11.

devamı gelecek...

soru ve önerilerinizi bekliyoruz...